الإجابة السريعة: درجة 85 في اختبار وسطه 70 وانحرافه المعياري 10 درجتها المعيارية z = (85 − 70) ÷ 10 = 1.5، وهي عند المئين 93.32 في التوزيع الطبيعي.
طريقة الحساب
z = (x − μ) ÷ σ. القيمة الموجبة أعلى من الوسط والسالبة أدنى منه، وz = 2 تعني انحرافين معياريين فوق الوسط. وبالعكس: x = μ + z·σ.
المئين هو المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري يسار z، أي Φ(z). وتحسبه الحاسبة من دالة الخطأ Φ(z) = ½·(1 + erf(z/√2)) بدقة نحو 15 رقمًا معنويًا، فلا حاجة إلى جدول z.
مساحات الأطراف هي ما تستخدمه اختبارات الفرضيات، فالقيمة ثنائية الطرف هي القيمة الاحتمالية لاختبار z. وإذا كانت لديك بيانات خام بدل μ وσ فاحسبهما أولًا في حاسبة الانحراف المعياري.
أمثلة محلولة
- x = 85 وμ = 70 وσ = 10: z = 1.5، المئين 93.32%
- قيمة أعلى من الوسط بمقدار 1.96σ: P(Z < 1.96) = 97.5%، وللطرفين 5%
- z = −1 وμ = 100 وσ = 15: x = 85، المئين 15.87%
قيم z الشائعة
| z | P(Z < z) | الطرفان |
|---|---|---|
| 1 | 84.13% | 31.73% |
| 1.645 | 95% | 10% |
| 1.96 | 97.5% | 5% |
| 2 | 97.72% | 4.55% |
| 2.576 | 99.5% | 1% |
| 3 | 99.87% | 0.27% |
الأسئلة الشائعة
ما الدرجة المعيارية الجيدة؟
الدرجة المعيارية ليست جيدة أو سيئة في ذاتها. في التوزيع الطبيعي تقع نحو 68% من القيم بين −1 و1، و95% بين −1.96 و1.96، أما ما يتجاوز ±3 فنادر (0.27%).
هل يمكن أن تكون الدرجة المعيارية سالبة؟
نعم، فالقيمة السالبة تعني أن القيمة أقل من الوسط.
هل أستخدم انحراف العينة أم انحراف المجتمع؟
استخدم σ للمجتمع إن كان معروفًا، وإن لم تتوفر إلا عينة فانحراف العينة s هو البديل المعتاد.
كم الدرجة المعيارية للقيمة 85 إذا كان المتوسط 70 والانحراف 10؟
1.5، أي أن 85 أعلى من المتوسط بانحراف ونصف، وتفوق نحو 93% من الدرجات.
ما الدرجة المعيارية التي تحدد أعلى 5%؟
1.645، ولأعلى 2.5% هي 1.96.
هل أقارن درجات اختبارين مختلفين؟
نعم، وهذه فائدة الدرجة المعيارية. فدرجة 80 في اختبار متوسطه 70 وانحرافه 5 تساوي z = 2، وهي أفضل من 85 في اختبار متوسطه 80 وانحرافه 10 (z = 0.5).