الإجابة السريعة: للأرقام 2 و4 و4 و4 و5 و5 و7 و9 الوسط 5 ومجموع مربعات الانحرافات 32، فالانحراف المعياري للمجتمع √(32 ÷ 8) = 2 وللعينة √(32 ÷ 7) = 2.138.
طريقة الحساب
احسب الوسط، ثم اطرحه من كل قيمة، وربّع كل فرق، واجمع المربعات. ناتج قسمة هذا المجموع على العدد هو التباين، والانحراف المعياري هو جذره التربيعي.
اقسم على N إذا كانت القائمة هي المجتمع كله (كل طلاب الفصل مثلًا)، واقسم على n − 1 (تصحيح بيسل) إذا كانت عينة تُستخدم لتقدير مجتمع أكبر، فبذلك يصبح تباين العينة تقديرًا غير متحيز.
الانحراف المعياري بوحدة البيانات نفسها. وفي البيانات القريبة من التوزيع الطبيعي يقع نحو 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد من الوسط و95% ضمن انحرافين. ولتحديد موقع قيمة واحدة على هذا المقياس استخدم حاسبة الدرجة المعيارية.
أمثلة محلولة
- 2 و4 و4 و4 و5 و5 و7 و9 (مجتمع): σ = √(32 ÷ 8) = 2
- البيانات نفسها عينةً: s = √(32 ÷ 7) = 2.138090
- 10 و12 و23 و23 و16 و23 و21 و16 (مجتمع): mean 18, Σ = 192, σ = √(192 ÷ 8) = 4.898979
الأسئلة الشائعة
هل أستخدم انحراف العينة أم انحراف المجتمع؟
استخدم انحراف المجتمع إذا كانت لديك بيانات كل أفراد المجموعة المعنية، واستخدم انحراف العينة إذا كانت الأرقام جزءًا تصف به مجموعة أكبر، وهذا هو الشائع في الاستبيانات والتجارب.
ما الفرق بين التباين والانحراف المعياري؟
التباين هو متوسط مربعات الانحرافات، والانحراف المعياري جذره التربيعي، فيعود إلى وحدة البيانات الأصلية ويسهل تفسيره.
هل يمكن أن يكون الانحراف المعياري سالبًا؟
لا، فهو جذر لمجموع مربعات، لذا يكون صفرًا أو أكثر، ولا يساوي صفرًا إلا إذا تساوت القيم كلها.
ما الانحراف المعياري للقيم 2 و4 و4 و4 و5 و5 و7 و9؟
2 بالضبط إذا كانت هذه القيم الثماني هي المجموعة كلها، ونحو 2.14 إذا كانت عينة من مجموعة أكبر، والمتوسط 5 في الحالتين.
ماذا يعني الانحراف المعياري الكبير؟
أن القيم متباعدة. فقد يكون متوسط فصلين 75، لكن الدرجات في الفصل الذي انحرافه 3 متقاربة، وفي الذي انحرافه 15 متفرقة جدًا.
هل الانحراف المعياري هو الخطأ المعياري؟
لا، فالانحراف المعياري يصف تشتت البيانات، أما الخطأ المعياري، أي الانحراف ÷ √n، فيصف دقة معرفتنا بالمتوسط.