حل المعادلة التربيعية

الإجابة السريعة: في المعادلة x² − 5x + 6 = 0 يكون المميز (−5)² − 4 × 1 × 6 = 1، فإن x = (5 ± 1) ÷ 2، أي أن الجذرين 2 و3، وتُحلل المعادلة إلى (x − 2)(x − 3).

طريقة الحساب

يعطي القانون العام x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. والمقدار تحت الجذر Δ = b² − 4ac هو المميز: إذا كان موجبًا فللمعادلة جذران حقيقيان، وإذا كان صفرًا فجذر مكرر، وإذا كان سالبًا فجذران مركبان −b/2a ± i·√(−Δ)/2a.

ولتجنب فقدان الدقة عندما يكون b² أكبر كثيرًا من 4ac، تستخدم الحاسبة الصيغة المستقرة q = −½(b + إشارة(b)·√Δ)، ثم x₁ = q ÷ a وx₂ = c ÷ q، وهي تعطي الجذرين نفسيهما.

يقع رأس القطع y = ax² + bx + c عند h = −b ÷ 2a وk = c − b² ÷ 4a، والمستقيم x = h هو محور التماثل. وإذا كانت a وb وc أعدادًا صحيحة والمميز مربعًا كاملًا، فالجذران نسبيان وتُحلل المعادلة إلى عوامل صحيحة.

أمثلة محلولة

• x² − 5x + 6 = 0: Δ = 1, x = 2 or 3, (x − 2)(x − 3)
• x² + 2x + 5 = 0: Δ = −16, x = −1 ± 2i
• 2x² − 5x − 3 = 0: Δ = 49, x = −0.5 or 3, (2x + 1)(x − 3)

الأسئلة الشائعة