الإجابة السريعة: إذا كان P(A) = 0.5 وP(B) = 0.4 والحدثان مستقلين، فاحتمال وقوعهما معًا 0.5 × 0.4 = 0.2، واحتمال وقوع أحدهما على الأقل 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7.
طريقة الحساب
في الأحداث المستقلة (لا يغيّر أحدها احتمال الآخر) تعطي قاعدة الضرب P(A و B) = P(A) × P(B)، وتعطي قاعدة الجمع P(A أو B) = P(A) + P(B) − P(A و B)، ويُطرح التداخل حتى لا يُحسب مرتين.
متممة الحدث هي كل ما عداه: P(عدم A) = 1 − P(A). واحتمال «لا هذا ولا ذاك» هو (1 − P(A))(1 − P(B))، واحتمال وقوع A مرة على الأقل في n محاولة هو 1 − (1 − P(A))ⁿ.
تفترض هذه القواعد الاستقلال، فسحب الأوراق دون إرجاعها مثلًا يجعل الأحداث غير مستقلة ويحتاج إلى الاحتمال الشرطي. ولعدّ النتائج الممكنة استخدم حاسبة التباديل والتوافيق.
أمثلة محلولة
- P(A) = 0.5 وP(B) = 0.4: and 0.2, or 0.7, neither 0.3
- نردان، ستة في كليهما: 1/6 × 1/6 = 0.027778
- P(A) = 0.5 مرة على الأقل في 3 محاولات: 1 − 0.5³ = 0.875
الأسئلة الشائعة
ما معنى أن يكون الحدثان مستقلين؟
يكون الحدثان مستقلين إذا كانت معرفة وقوع أحدهما لا تغيّر احتمال الآخر، مثل رميتين منفصلتين لقطعة نقود.
ماذا لو كان الحدثان متنافيين؟
الحدثان المتنافيان لا يقعان معًا، فاحتمال وقوعهما معًا صفر واحتمال وقوع أحدهما P(A) + P(B). وهما ليسا مستقلين (إلا إذا كان احتمال أحدهما صفرًا)، فلا تستخدم نتيجة «معًا» من هذه الحاسبة لهما.
هل يمكنني إدخال نسب مئوية أو كسور؟
نعم، فالقيم 0.4 و40% و2/5 تعني الاحتمال نفسه.
ما فرصة ظهور الرقم 6 مرة واحدة على الأقل في أربع رميات؟
أكثر من النصف بقليل، نحو 51.8%. فاحتمال ألا يظهر في أربع رميات (5/6)⁴، أي قرابة 48.2%، ونطرحه من 100%.
بعد خمس مرات «كتابة» متتالية، هل تصبح «الصورة» أرجح؟
لا، فالعملة العادلة لا تتذكر ما سبق، والرمية التالية تبقى 50 إلى 50. والاعتقاد بأن نتيجة ما «حان وقتها» يُسمى مغالطة المقامر.
كيف أحوّل الاحتمالات بصيغة 3 إلى 1 إلى نسبة؟
3 إلى 1 ضد الحدث تعني فوزًا واحدًا مقابل كل ثلاث خسارات، فالفرصة واحد من أربعة، أي 25%.