الإجابة السريعة: اختيار 3 أشخاص من 10 يعطي C(10, 3) = 10! ÷ (3! × 7!) = 720 ÷ 6 = 120 توفيقًا، وإذا كان الترتيب مهمًا (الأول والثاني والثالث) فالعدد P(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720.
طريقة الحساب
التباديل تعدّ الترتيبات: nPr = n! ÷ (n − r)! = n × (n − 1) × … × (n − r + 1). فتوزيع الذهبية والفضية والبرونزية على 10 متسابقين يعطي P(10, 3) = 720.
التوافيق تهمل الترتيب: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. فلجنة من 3 أشخاص من بين 10 عددها C(10, 3) = 120، لأن كل مجموعة من 3 يمكن ترتيبها بـ 3! = 6 طرق.
ومع السماح بالتكرار يكون عدد الاختيارات المرتبة nʳ (للرمز السري من 4 أرقام 10⁴ = 10,000 احتمال)، وعدد الاختيارات غير المرتبة C(n + r − 1, r).
النتائج أعداد صحيحة دقيقة مهما كبرت. ولتحويل العدد إلى احتمال اقسم عدد الحالات المواتية على عدد الحالات الكلية في حاسبة الاحتمالات.
أمثلة محلولة
- C(10, 3) و P(10, 3): 120, 720
- أيدي البوكر C(52, 5): 2,598,960
- اختيار 6 من 49، C(49, 6): 13,983,816
الأسئلة الشائعة
كيف أعرف هل الترتيب مهم؟
اسأل: هل يعطي تبديل عنصرين مختارين نتيجة مختلفة؟ في المقاعد والمراكز وكلمات المرور الترتيب مهم (تباديل)، وفي الفرق وأوراق اللعب وتذاكر اليانصيب غير مهم (توافيق).
كم يساوي 0! ؟
يساوي 1 بالتعريف، ولهذا C(n, 0) = C(n, n) = 1: توجد طريقة واحدة لاختيار لا شيء أو اختيار الكل.
ما أكبر قيمة لـ n؟
حتى 1,000، وتُعرض النتائج الطويلة جدًا بالصيغة العلمية في البطاقات.
بكم طريقة أختار 3 أشخاص من 10؟
120 طريقة إذا لم يكن ترتيب الاختيار مهمًا. أما إذا كان مهمًا، كالمركز الأول والثاني والثالث، فهي 720.
كم رقمًا سريًا من 4 خانات يمكن تكوينه؟
10,000 رقم، من 0000 إلى 9999، لأن الأرقام يمكن أن تتكرر: 10 × 10 × 10 × 10.
ما فرصة الفوز في يانصيب يُسحب فيه 6 أرقام من 49؟
نحو واحد من 14 مليونًا، فهناك 13,983,816 مجموعة مختلفة من ستة أرقام، وواحدة فقط تفوز بالجائزة الكبرى.