الإجابة السريعة: في المتتالية الحسابية 3، 7، 11، … (d = 4) يكون الحد العاشر 3 + 9 × 4 = 39، ومجموع أول 10 حدود 10 × (3 + 39) ÷ 2 = 210.
طريقة الحساب
المتتالية الحسابية تضيف الفرق نفسه d في كل مرة: aₙ = a₁ + (n − 1)d، ومجموع أول n حدًا Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2.
المتتالية الهندسية تضرب في النسبة نفسها r: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ وSₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)، أو n·a₁ عندما r = 1. وإذا كانت −1 < r < 1 فإن مجموعها إلى ما لا نهاية يقترب من a₁ ÷ (1 − r).
في متتالية فيبوناتشي كل حد هو مجموع الحدين السابقين، بدءًا من 1، 1، 2، 3، 5، 8، ومجموع أول n حدًا يساوي Fₙ₊₂ − 1. وتُحسب الحدود بدقة تامة، فيظهر F₁₀₀ بأرقامه الواحد والعشرين.
النمو المركب متتالية هندسية، وللقوى وحدها انظر حاسبة الأسس.
أمثلة محلولة
- حسابية a₁ = 3 وd = 4 وn = 10: a₁₀ = 39, S₁₀ = 210
- هندسية a₁ = 3 وr = 2 وn = 10: a₁₀ = 3 × 2⁹ = 1,536, S₁₀ = 3 × 1,023 = 3,069
- فيبوناتشي n = 10 وn = 50: F₁₀ = 55 (143), F₅₀ = 12,586,269,025
الأسئلة الشائعة
كيف أميّز المتتالية الحسابية من الهندسية؟
اطرح كل حد من الذي يليه: إذا كان الفرق ثابتًا فهي حسابية. واقسمهما: إذا كانت النسبة ثابتة فهي هندسية.
هل يمكن أن يكون الفرق أو النسبة سالبًا؟
نعم. الفرق السالب يجعل الحدود تتناقص، والنسبة السالبة تجعل إشاراتها تتناوب، مثل 3، −6، 12، −24.
من أين تبدأ متتالية فيبوناتشي؟
تستخدم هذه الحاسبة الاصطلاح الشائع F₁ = F₂ = 1 (وF₀ = 0).
ما الحد العاشر في 3، 7، 11، 15 …؟
39، ابدأ من 3 وأضف 4 تسع مرات، ومجموع الحدود العشرة الأولى 210.
كم يساوي 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …؟
2 بالضبط، فكل خطوة تقطع نصف ما تبقى، فتقترب من 2 أكثر فأكثر دون أن تتجاوزها.
كيف أجد الفرق المشترك أو الأساس؟
للفرق اطرح أي حد من الحد الذي يليه، وهو 4 في 3، 7، 11، 15. وللأساس اقسم الحد على الحد الذي قبله.