الإجابة السريعة: للمصفوفة A = [1, 2; 3, 4] يكون المحدد 1 × 4 − 2 × 3 = −2، والمعكوس 1/(−2) × [4, −2; −3, 1] = [−2, 1; 1.5, −0.5].
طريقة الحساب
المحدد: للمصفوفة 2×2 [a, b; c, d] يساوي ad − bc. وللمصفوفة 3×3 يُفك على الصف الأول: a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg).
المعكوس: A⁻¹ = المصفوفة المرافقة ÷ المحدد، والمرافقة هي منقول مصفوفة العوامل المرافقة. وفي 2×2 يكون 1/(ad − bc) × [d, −b; −c, a]. والمصفوفة التي محددها صفر منفردة لا معكوس لها. وتتحقق الحاسبة من النتيجة بعرض A × A⁻¹ التي يجب أن تكون مصفوفة الوحدة.
الضرب: العنصر (i, j) في A × B هو مجموع حاصل ضرب الصف i من A في العمود j من B، لذا يجب أن يساوي عدد أعمدة A عدد صفوف B، وعمومًا A × B ≠ B × A. أما الجمع والطرح فعنصرًا بعنصر ويحتاجان إلى مصفوفتين من الرتبة نفسها.
أمثلة محلولة
- محدد [1, 2; 3, 4]: 1 × 4 − 2 × 3 = −2
- معكوس [1, 2; 3, 4]: [−2, 1; 1.5, −0.5]
- [1, 2; 3, 4] × [5, 6; 7, 8]: [19, 22; 43, 50]
الأسئلة الشائعة
كيف أكتب المصفوفة؟
ضع كل صف في سطر جديد أو افصل الصفوف بفاصلة منقوطة، وافصل الأرقام بمسافات أو فواصل: "2 0 1; 1 3 2; 1 1 2" مصفوفة 3×3.
لماذا لا يوجد معكوس لمصفوفتي؟
لأن محددها صفر، أي أن الصفوف (أو الأعمدة) مرتبطة ببعضها، كأن يكون أحد الصفوف مضاعفًا لصف آخر.
ما فائدة المحدد؟
يبين هل لنظام المعادلات الخطية حل وحيد (المحدد ≠ 0)، وقيمته المطلقة هي معامل تكبير المساحات (2×2) أو الحجوم (3×3).
ما معكوس المصفوفة [1 2; 3 4]؟
[−2 1; 1.5 −0.5]. المحدد −2، فتبدّل عنصري القطر الرئيسي، وتعكس إشارة العنصرين الآخرين، وتقسم الكل على −2.
هل A × B يساوي B × A؟
نادرًا جدًا، فالترتيب مهم في المصفوفات، والتبديل يعطي غالبًا نتيجة مختلفة، أو لا يصح أصلًا إن لم تتوافق الأبعاد.
كيف أحل نظام معادلات بالمصفوفات؟
اكتبه على الصورة A·x = b، وما دام محدد A ليس صفرًا فالحل x = A⁻¹·b.