الإجابة السريعة: log₂(1,024) = 10 لأن 2^10 = 1,024؛ وبقانون تغيير الأساس: ln(1,024) ÷ ln(2) = 6.93147181 ÷ 0.69314718 = 10.
طريقة الحساب
اللوغاريتم يجيب عن سؤال: إلى أي قوة نرفع الأساس b لنحصل على x؟ فإذا كان log_b(x) = y كان b^y = x. ولذلك log₁₀(1,000) = 3 وlog₂(8) = 3.
يمكن حساب اللوغاريتم لأي أساس من اللوغاريتم الطبيعي بقانون تغيير الأساس: log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b). ويجب أن يكون الأساس موجبًا ولا يساوي 1، وأن يكون x أكبر من صفر.
يُستخدم اللوغاريتم العشري في الديسيبل ودرجة الحموضة pH ورتب المقادير، والطبيعي (للأساس e ≈ 2.71828) في النمو المستمر، والثنائي في البتات والتضاعف. وللعكس ارفع الأساس إلى الناتج في حاسبة الأسس.
أمثلة محلولة
- للأساس 2: log₂(1,024) = 10
- للأساس 10: log₁₀(1,000) = 3
- للأساس 5: log₅(125) = ln(125) ÷ ln(5) = 3
قوانين اللوغاريتمات
| القانون | مثال |
|---|---|
| log(xy) = log x + log y | log₁₀(20) = log₁₀ 2 + log₁₀ 10 = 1.30103 |
| log(x ÷ y) = log x − log y | log₂(32 ÷ 4) = 5 − 2 = 3 |
| log(xⁿ) = n·log x | ln(e³) = 3 |
| log_b(b) = 1، log_b(1) = 0 | log₇(7) = 1 |
الأسئلة الشائعة
لماذا لا يمكن حساب لوغاريتم الصفر أو العدد السالب؟
لأنه لا توجد قوة لأساس موجب تعطي صفرًا أو عددًا سالبًا، فاللوغاريتم غير معرّف هناك في الأعداد الحقيقية.
ما الفرق بين log وln؟
يعني log عادةً الأساس 10، ويعني ln الأساس e. وفي بعض كتب الرياضيات والبرمجة يُقصد بـ log اللوغاريتم الطبيعي، فتأكد من الأساس.
كيف أحسب معكوس اللوغاريتم؟
معكوس اللوغاريتم للعدد y بالأساس b هو b^y، فمعكوس 2 بالأساس 10 هو 10² = 100.
كم لوغاريتم 1024 للأساس 2؟
10، لأن 2 مضروبًا في نفسه 10 مرات يساوي 1,024.
كم اللوغاريتم العشري لـ1,000,000؟
6، فمع قوى العشرة يعدّ اللوغاريتم العشري الأصفار فقط.
كيف تُستخدم اللوغاريتمات في الأس الهيدروجيني (pH)؟
الـpH هو سالب لوغاريتم تركيز أيونات الهيدروجين، فكل درجة على المقياس أقوى أو أضعف بعشر مرات، وعصير الليمون عند pH 2 أشد حمضية بعشر مرات من شيء عند pH 3.